合同矩阵具有以下性质：

反身性 ：任意矩阵都与其自身合同。即对于任意矩阵 $A$，有 $A$ 合同于 $A$ 。

对称性 ：如果矩阵 $A$ 合同于矩阵 $B$，则可以推出矩阵 $B$ 合同于矩阵 $A$ 。

传递性 ：如果矩阵 $A$ 合同于矩阵 $B$，且矩阵 $B$ 合同于矩阵 $C$，则可以推出矩阵 $A$ 合同于矩阵 $C$ 。

合同矩阵的秩相同 ：两个合同矩阵具有相同的秩 。

正负惯性指数相同 ：对于实对称矩阵，如果它们合同，则它们具有相同的正负惯性指数，即正、负特征值的个数相等 。

这些性质使得合同关系成为一个等价关系，在数学的多个领域中，特别是线性代数和二次型理论中，合同关系是一个非常重要的概念 。