傅里叶函数的收敛性取决于多个因素，包括函数的周期性、连续性、光滑性以及绝对可积性。以下是一些关键点：

狄利克雷收敛定理 ：如果函数 $f（x）$ 在区间 $[-L, L]$ 上满足以下条件，则其傅里叶级数在几乎处处收敛于 $f（x）$：

函数在有限个点上不连续；

函数在有限个极值点上可导；

函数在区间上绝对可积。

逐点收敛 ：根据费布尼斯定理，若函数 $f（x）$ 在一个周期内绝对可积，在收敛点 $x_0$ 处连续，并且在其邻域内左右极限存在，则傅里叶级数的和可以逐点收敛到 $f（x_0）$。

收敛于平均值 ：对于某些特殊函数，例如 $f（x） = e^x$，其傅里叶级数在间断点处收敛于左右极限的平均值。

光滑性和衰减性 ：傅里叶级数的收敛性还与函数的光滑性和傅里叶系数的衰减性密切相关。如果函数足够光滑，傅里叶系数会随着 $n$ 的增大而快速衰减，从而提高级数的收敛速度和精度。

综上所述，傅里叶函数在其定义域内收敛于以下值：

在连续点 ：傅里叶级数的和逐点收敛于函数在该点的值 $f（x_0）$。

在间断点 ：傅里叶级数的和收敛于左右极限的平均值。

在极值点 ：傅里叶级数的和收敛于极值点的函数值。

因此，傅里叶函数在其定义域内的收敛值可以是函数在该点的值、左右极限的平均值或极值点的函数值，具体取决于函数的性质和收敛点的位置。