舞蹈培训机构通常由多个部门进行监管，具体包括：

文化局 ：负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训。

教育局 ：负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理，同时也监管非学科类培训机构，包括舞蹈培训。

市场监督管理局 ：对舞蹈培训机构的一部分业务进行监管，并且是消费者权益受损时的投诉渠道。

工商局 ：舞蹈培训可以注册为企业，如某某舞蹈培训有限公司，这时归工商部门管。

文体部门 ：舞蹈严格来说属于艺术体育类，应由文体部门管辖。

综上所述，舞蹈培训机构的监管一般由文化局、教育局、市场监督管理局和工商局等多个机构共同负责。如果消费者的权益受到损害，通常可以向当地的市场监督管理局进行投诉。对于特殊的地方性非物质文化遗产舞蹈培训，可能还会由文化局单独管理。