钢琴培训机构的监管主要涉及以下部门：

教育局 ：负责审批乐器培训班，包括钢琴培训班，并对培训机构的设立、办学资质、师资队伍、教学内容等方面进行审查和认可。

文化和旅游部门 ：根据《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的措施》，艺术类教培机构不归教育局管，而由文化和旅游部门负责文化艺术培训机构的管理。因此，涉及艺术培训的钢琴培训机构可能需要向文化和旅游部门进行申报和监管。

人力资源和社会保障局 ：负责监督培训机构在劳动用工、劳动合同、工资福利等方面的合规运作。

工商管理机构 ：负责对培训机构的企业注册、营业执照、商标注册等进行审查和监督。

其他相关部门 ：包括但不限于科信局或工信局（监督管理科技类培训机构），街道办事处（负责其他类型培训机构及托管机构的统一管理），消费者权益保护局（涉及消费者权益保护等方面的监管）。

建议 ：

如果你想开办钢琴培训班，建议首先向当地的教育局申请，因为教育局负责培训机构的审批工作。

如果你的钢琴培训机构涉及艺术培训，并且不属于学科类培训，那么可能需要向文化和旅游部门进行申报和监管。

在具体操作前，建议先咨询当地的教育局或文化和旅游部门，以获取最准确的指导和办理相关手续。