培训学校的监管主要归属于 地方教育主管部门 ，具体监管部门可能会因地方政策、培训机构性质等因素而有所差异。以下是一些具体的监管部门：

地方教育主管部门 ：

教育局 ：作为教育行政主管部门，负责对教育培训机构的资质审核、日常教育活动和收费进行监督管理。培训学校需要获得教育主管部门的认证和社会力量办学资格才能开展业务。

地方政府人力资源管理部门 ：

该部门会同教育机构管理教育培训机构，负责制定相关政策和标准，并监督执行。培训机构在增加课程或改变收费时需要向教育部门申请并获得批准。

工商部门 ：

涉及市场竞争秩序和消费者权益保护等方面的监管。

税务部门 ：

负责培训机构的税务管理和监督。

其他相关部门 ：

根据培训机构的类型，还可能受到其他相关部门的管理，例如文旅局（文化体育类培训机构）、人社局（职业技能类培训机构）、科信局或工信局（科技类培训机构）、街道办事处（其他类型培训机构及托管机构的统一管理）、消费者权益保护局（消费者权益保护等方面的监管）。

综上所述，培训学校的管理主要归属于地方教育主管部门，具体监管部门可能会因地方政策、培训机构性质等因素而有所差异。建议培训机构在运营过程中需要遵守相关法规，如获得办学许可证、进行教师资格认证，并接受教育部门的考核评估、监督教学质量等。