云南舞蹈培训的管理涉及多个部门，具体归属如下：

文化和旅游部门 ：负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训。

教育局 ：虽然不直接管理舞蹈培训，但负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理，并牵头组织校外培训市场综合执法。此外，教育局还对舞蹈培训机构的资质审查、教学内容、师资力量等进行管理，确保培训质量符合国家标准，保障学员权益。

市场监督管理局 ：负责校外培训机构的注册、审批和监督，确保其合法经营和教学质量，并处理消费者权益受损的投诉。

体育部门 ：如果舞蹈培训涉及体能训练和健康管理，还可能涉及体育部门的管理。

综上所述，云南舞蹈培训主要归文化和旅游部门管辖，同时教育局和市场监督管理局也参与监管，确保培训质量和合法经营。具体的管理职责可能会因地区和培训机构的性质有所不同。