培训教育机构的监管归属主要涉及以下几方面：

地方教育主管部门

教育培训机构通常归地方教育主管部门管理，如市属教育局。这些部门负责培训机构的资质审核、日常教育活动的监督以及收费的监督管理。

工商行政管理局

教育培训机构也受工商行政管理局的监管，涉及培训机构的注册、经营范围的审核等。

人力资源和社会保障局

职业技能类培训机构由人社局负责监管。

科学技术局或工业和信息化局

科技类培训机构由科信局或工信局进行监督管理。

街道办事处

其他类型的培训机构以及托管机构则由所在地区的街道办事处负责统一管理。

综上所述，培训教育机构的监管涉及多个部门，具体归属取决于培训机构的类型。例如，学科类培训机构主要归教育局管理，文化体育类培训机构归文旅局管理，职业技能类培训机构由人社局负责监管，科技类培训机构由科信局或工信局进行监督管理，其他类型的培训机构及托管机构则由街道办事处统一管理。