数学研究生主要研究数学理论及其应用，具体包括以下领域：

基础数学 ：

代数 ：群论、环论、域论等。

几何 ：欧氏几何、非欧几何等。

分析 ：微积分、常微分方程、偏微分方程、实变函数、复变函数等。

概率论与数理统计 ：随机变量、概率分布、假设检验、回归分析等。

拓扑学 ：拓扑空间、连续映射、同伦论等。

数论 ：整数性质和结构、数论基本定理、代数数论和解析数论等。

泛函分析 ：函数空间、算子理论等。

微分方程 ：椭圆型、抛物型和双曲型方程等。

应用数学 ：

数学建模 ：将数学知识应用于实际问题，如金融数学、运筹学、控制理论等。

数值分析 ：研究数值逼近和数值算法，解决科学和工程问题中的数学模型。

优化方法 ：研究在一定约束条件下如何找到最优解的方法，包括线性规划、非线性规划、整数规划等。

计算数学 ：研究计算机通过算法解决实际问题，包括数值分析、数值方法等。

交叉学科 ：

经济数学 ：将数学工具应用于经济学模型。

数学物理 ：将数学方法应用于物理问题。

其他交叉学科 ：如生物数学、工程数学等。

科研方法与工具 ：

文献阅读 ：阅读大量文献，了解最新的研究成果。

学术论文撰写 ：撰写论文，完成硕士或博士学位论文。

参加学术会议 ：通过参加学术会议，与同行交流思想，建立专业网络。

教学活动 ：

助教或讲师 ：帮助本科生学习数学课程，提高自己的沟通能力和教学技巧。

数学研究生的学习内容会围绕这些领域进行深入研究，旨在培养具有深厚数学理论基础、扎实的数学分析和数学建模能力以及创新精神和科研能力的高层次数学人才。