针对私人舞蹈培训机构的投诉，您可以通过以下几种途径进行举报：

向当地教育部门进行反映 ：

教育行政部门或教育局是主要负责监管教育行业的机构，包括培训机构。您可以向当地州（市）级别的教育行政部门或教育局进行举报。某些地方政府可能设有专门的教育投诉热线或举报电话。

拨打投诉电话 ：

您可以拨打一些专门的投诉电话进行举报，例如12366税务电话（如果机构没有开具发票，怀疑存在税务问题）、12345市民服务电话（如果机构已不在原地址经营）和12315消费者投诉热线（如果与培训机构协商退费无果）。

网上投诉或写信举报 ：

除了电话举报外，您还可以通过政府部门的官方网站进行在线投诉，或者写信给相关监管部门进行举报。

向市场监督管理局投诉 ：

舞蹈培训机构虽然主要由教育部门监管，但市场监督管理局也对其一部分业务有监管职责。如果存在消费者权益受损的情况，您可以向当地市场监督管理局投诉。

消费者协会 ：

如果与培训机构协商无果，您可以请求消费者协会出面协调解决纠纷。消费者协会会根据相关法律法规进行调解和处理。

人民法院或仲裁机构 ：

如果问题无法通过协商或其他途径解决，您还可以依据《消费者权益保护法》向人民法院提起诉讼，或根据与经营者达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁。

在举报时，请确保收集并准备好相关证据，如合同、付款凭证、交流记录等，以便有关部门进行调查处理。

建议 ：

在采取任何行动之前，建议您先咨询专业律师以获取更具体的建议和指导，确保您的权益得到充分保障。