培训机构的监管归属主要涉及多个部门，具体如下：

教育部门：

负责学科类培训机构的监管，包括组织考核评估、监督教学质量、规范招生宣传等。

人社局（人力资源和社会保障局）：

负责职业技能类培训机构的监管。

文旅局：

负责管理文化体育类培训机构。

科信局或工信局：

负责科技类培训机构的监管。

市场监管局（市场监督管理局）：

涉及市场竞争秩序和消费者权益保护等方面的监管。

工商局：

涉及市场竞争秩序和消费者权益保护等方面的监管。

消费者权益保护局：

涉及消费者权益保护等方面的监管。

街道办事处：

负责其他类型培训机构及托管机构的统一管理。

综上所述，培训机构的管理部门根据不同的培训类型和地域有所不同，但主要归属于教育部门的管理。同时，培训机构在运营过程中需要遵守相关法规，如获得办学许可证、进行教师资格认证，并接受教育部门的考核评估、监督教学质量等。价格变动和课程调整通常也需要教育部门的批准。