舞蹈培训班的监管涉及多个部门，具体如下：

文化局 ：负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训。

教育局 ：负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理，但一般舞蹈培训不归其管辖，除非是特殊的地方性非物质文化遗产的舞踏培训。

市场监督管理局 ：对舞蹈培训机构的一部分业务进行监管，并且是消费者权益受损时的投诉渠道。

工商局 ：舞蹈培训一般可以注册为某某舞蹈培训有限公司，某某舞蹈培训工作室等，这样的话就只归工商部门管了。

体育局 ：舞蹈严格来说属于艺术体育类，应由文体部门管辖。

综上所述，舞蹈培训班的监管一般由文化局、教育局、市场监督管理局和工商局等多个机构共同负责。具体归属哪个部门管理，可能取决于培训机构的性质、目的以及所在地的具体规定。