培训机构的监管部门主要涉及多个部门，具体如下：

教育部门：

负责教育培训机构的备案、审批、教学质量监督等。对于非学历教育培训机构，尤其是学科类和文化体育类培训机构，教育部门是主要的管理部门。

人力资源和社会保障局（人社局）：

负责管理职业技能类培训机构，涉及职业技能鉴定和职业资格证书的发放。

文化和旅游局（文旅局）：

负责文化体育类培训机构的管理。

科学技术局或工业和信息化局（科信局或工信局）：

负责科技类培训机构的管理。

工商行政管理局：

负责对培训机构的注册登记及日常运营进行监管，确保商业活动的合法性。

民政局：

根据培训机构的业务领域，可能还会受到民政部门的监督管理。

街道办事处：

负责统一管理其他类型的培训机构以及托管机构。

综上所述，培训机构的监管部门涵盖了教育、人社、文旅、科技、工商、民政和街道等多个领域，具体管理职责根据培训机构的业务类型和性质有所不同。建议培训机构在设立和运营过程中，充分了解并遵守相关法律法规，确保合法合规。