舞蹈类培训机构的监管涉及多个部门，具体归属如下：

教育局 ：

负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理。

一般舞蹈培训（非艺术类教培机构）的业务活动管理归口教育局负责。

文化局 ：

负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训，特别是涉及地方性非物质文化遗产的舞踏培训。

文体部门 ：

舞蹈严格来说属于艺术体育类，应由文体部门管辖。

市场监督管理局 ：

对舞蹈培训机构的一部分业务进行监管，并且是消费者权益受损时的投诉渠道。

工商局 ：

舞蹈培训可以注册为企业，如某某舞蹈培训有限公司，这时它只归工商部门管。

民政局或非赢利性民间教育组织 ：

舞蹈教练培训可能不属于娱乐业，而是作为非赢利性民间教育组织由民政局下属管理。

综上所述，舞蹈类培训机构的监管一般由文化局、教育局、市场监督管理局和工商局等多个机构共同负责。具体归属取决于培训机构的性质、目的以及所在地。建议在选择舞蹈培训机构时，了解其注册类型和主要业务范围，以便确定其监管归属，确保培训质量和合法性。