数学中的合同关系主要应用于线性代数，尤其是二次型理论中。它是一种等价关系，具有以下性质：

反射性 ：任意矩阵都与其自身合同，即对于任意矩阵 $A$，存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^TAP = A$。

对称性 ：如果矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 合同，那么矩阵 $B$ 也与矩阵 $A$ 合同，即如果存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^TAP = B$，则存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^TBQ = A$。

传递性 ：如果矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 合同，且矩阵 $B$ 与矩阵 $C$ 合同，那么矩阵 $A$ 也与矩阵 $C$ 合同。

合同矩阵的秩相同 ：两个合同的矩阵具有相同的秩。

正负惯性指数相同 ：合同矩阵具有相同的正负特征值的个数（正惯性指数和负惯性指数）。

合同矩阵均可对角化 ：在数域 $P$ 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。

这些性质使得合同关系在数学分析和几何学中都有重要应用，它允许我们在不同的基下研究二次型，从而简化问题并揭示其本质特征。