培训机构的管辖主要归属于 教育部门，但具体管理职责可能会因培训类型和地域的不同而有所调整。在中国，培训机构需要遵守一系列教育法规和政策，如办学许可证、教师资格认证等，并且需要得到教育部门的认证和取得社会力量办学资格才能营业。教育部门对培训机构的管理包括组织考核评估、监督教学质量、规范招生宣传等工作。

此外，根据培训机构的类型和地域不同，还可能受到其他相关部门的管理，例如：

工商部门：涉及市场竞争秩序和消费者权益保护等方面的监管。

税务部门：对培训机构的税收情况进行监管。

人社局：负责职业技能类培训机构的监管。

文旅局：负责管理文化体育类培训机构。

科信局或工信局：监督管理科技类培训机构。

消费者权益保护局：涉及消费者权益保护等方面的监管。

街道办事处：负责其他类型培训机构及托管机构的统一管理。

综上所述，培训行业虽然主要属于教育部门的管辖范围，但具体管理职责可能会根据培训类型和地域的不同而有所调整，且可能受到多个相关部门的联合管理。