培训机构的监管主要涉及多个部门，具体如下：

教育部门：

负责大多数非学历教育培训机构的管理，包括审批办学资质、监管教学内容和教师资质等。

人力资源和社会保障局（人社局）：

负责职业技能类培训机构的监管。

文化和旅游局（文旅局）：

负责文化体育类培训机构的管理。

科学技术局或工业和信息化局（科信局或工信局）：

监督管理科技类培训机构。

市场监督管理局：

涉及市场竞争秩序和消费者权益保护等方面的监管。

工商局：

负责培训机构的注册登记和营业执照的发放审核。

消防部门：

对培训机构的消防安全进行监管。

街道办事处：

负责其他类型培训机构及托管机构的统一管理。

消费者权益保护局：

涉及消费者权益保护等方面的监管。

综上所述，培训机构的监管主要归教育部门管理，但具体监管职责可能会根据培训机构的类型和所在地区的不同而有所调整。此外，其他相关部门如人社局、文旅局、科信局或工信局、市场监督管理局、工商局、消防部门和街道办事处等也会根据各自的职责对培训机构进行监管。