安全培训机构的管理主要遵循 培训行为自律、社会群众监督、部门监督检查、市场择优汰劣的原则。具体到管理部门，安全培训机构的管理主要涉及以下几个层级：

省级应急管理部门：

负责指导全省的安全培训工作，并依法对全省的安全培训工作实施监督管理。

市级应急管理部门：

依法对本行政区域内的培训机构的培训活动进行业务指导和监督管理。

县（市、区）级应急管理部门：

配合市级应急管理部门，依法对本行政区域内的培训机构的培训活动开展日常监督管理和抽查检查。

此外，安全培训的责任主体和隶属部门也取决于企业的内部设置：

企业主要负责人：需制定并实施安全培训计划。

安全管理部门：负责制定公司级年度安全培训计划，组织公司级安全教育培训工作，并监督和指导各部门的安全教育培训工作。

人力资源部：负责整个公司的安全教育培训工作，统计和汇总各部门教育培训计划，组织、联系、安排外部培训，并对各部门开展的安全教育培训工作进行监督和检查。

综上所述，安全培训机构的管理主要归应急管理部门负责，具体包括省级、市级和县（市、区）级应急管理部门。同时，企业内部的安全培训职能可能由人力资源部门或安全管理部门承担。