等价无穷小是 无穷小之间的一种关系 ，具体定义如下：

定义 ：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

等价无穷小的性质 ：等价无穷小刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

应用 ：等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

例子

常见等价无穷小 ：

当$x to 0$时，$sin x sim x$，即$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$。

当$x to 0$时，$tan x sim x$，即$lim_{x to 0} frac{tan x}{x} = 1$。

当$x to 0$时，$1 - cos x sim frac{1}{2}x^2$，即$lim_{x to 0} frac{1 - cos x}{frac{1}{2}x^2} = 1$。

使用条件

被代换的量在取极限的时候极限值为0。

注意事项

加减法 ：等价无穷小替换在加减法中不能直接使用，需要确保替换后余下的部分能抵消分子或者分母。

高阶无穷小 ：等价无穷小也是同阶无穷小的一种特殊情形，指的是两个无穷小在极限过程中比值趋于1。

通过以上定义和性质，我们可以更好地理解和应用等价无穷小这一数学工具，从而简化复杂的极限计算问题。