舞蹈培训学校的监管涉及多个部门，具体管理归属如下：

文化局：

负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训。对于特殊的地方性非物质文化遗产的舞踏培训，也由文化局管理。

教育局：

负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理。一般情况下，普通舞蹈培训机构（非艺术类教培机构）的行证许可和业务活动管理归口教育局负责。同时，教育局还负责舞蹈培训机构的资质审查、教学内容、师资力量等，确保培训质量符合国家标准，保障学员权益。

市场监督管理局：

对舞蹈培训机构的一部分业务进行监管，并且是消费者权益受损时的投诉渠道。

工商局：

舞蹈培训一般可以注册为某某舞蹈培训有限公司、某某舞蹈培训工作室等，这样的话就只归工商部门管了。

文体部门：

舞蹈严格来说属于艺术体育类，应由文体部门管辖。艺术类教培机构不归教育局管，由文化和旅游部门负责文化艺术培训机构的管理。

综上所述，舞蹈培训学校的监管一般由文化局、教育局、市场监督管理局和工商局等多个机构共同负责。具体归属部门取决于培训机构的性质和所在地。