反常积分同敛散的判断主要通过以下方法实现，结合了极限比较法、等价无穷小替换和特殊函数判别法：

一、极限比较法

基本思想

若$lim_{x to infty} frac{f（x）}{g（x）} = L$（$L$为有限非零常数），则$f（x）$与$g（x）$在$x to infty$时同敛散。 - 若$L = 0$且$int_a^infty g（x） , dx$收敛，则$int_a^infty f（x） , dx$绝对收敛；

若$L = infty$且$int_a^infty g（x） , dx$发散，则$int_a^infty f（x） , dx$发散。

应用示例

判断$int_1^infty frac{ln x}{x^2} , dx$的敛散性：

令$g（x） = frac{1}{x}$，则$lim{x to infty} frac{frac{ln x}{x^2}}{frac{1}{x}} = lim{x to infty} frac{ln x}{x} = 0$，

因为$int_1^infty frac{1}{x} , dx$发散，但根据极限比较法的推论，$int_1^infty frac{ln x}{x^2} , dx$收敛。

二、等价无穷小替换

基本思想

在积分区间内，当$x to infty$时，若$f（x） sim g（x）$（即$lim_{x to infty} frac{f（x）}{g（x）} = 1$），则$int_a^infty f（x） , dx$与$int_a^infty g（x） , dx$同敛散。 - 例如，当$x to infty$时，$x^p sim x$（$p > 0$），$ln x sim x^{-1}$等。

应用示例

判断$int_2^infty frac{1}{x ln x} , dx$的敛散性：

令$g（x） = frac{1}{x}$，则$frac{1}{x ln x} sim frac{1}{x}$（$x to infty$），

因为$int_2^infty frac{1}{x} , dx$发散，所以$int_2^infty frac{1}{x ln x} , dx$也发散。

三、特殊函数判别法

P-积分

对于$int_1^infty frac{1}{x^p} , dx$，当$p > 1$时收敛，当$p leq 1$时发散。 例如，$int_1^infty frac{1}{x^2} , dx$收敛，而$int_1^infty frac{1}{x} , dx$发散。

对数积分函数

对于$int_1^infty frac{1}{x ln x} , dx$，其原函数为$ln（ln x）$，当$x to infty$时发散。

四、其他方法

直接计算法 ：若能求出原函数且极限存在，则收敛；否则发散。- 柯西判别法 ：通过数列性质判断反常积分的敛散性。- Cauchy判别法 ：结合级数敛散性判断反常积分。

总结

反常积分同敛散的判断需结合具体函数形式，优先使用极限比较法或等价无穷小替换。对于特殊函数（如幂函数、对数函数），可直接套用P-积分等结论。计算时需注意瑕点的处理，避免遗漏无穷间断点。