以下是判断函数可导的例题及解析，综合多个权威来源整理而成：

一、基本判断步骤

连续性检查

函数在某点可导的必要条件是连续。若函数在该点不连续，则一定不可导。

左右导数计算与比较

计算左导数：$lim_{x to x_0^-} frac{f（x） - f（x_0）}{x - x_0}$

计算右导数：$lim_{x to x_0^+} frac{f（x） - f（x_0）}{x - x_0}$

若左右导数存在且相等，则函数在$x_0$处可导。

二、典型例题解析

例1：判断函数在$x=0$处的可导性

函数 ：$f（x） = |x|$

解析 ：

连续性：$f（0）=0$，但$lim{x to 0^-} f（x） = 0$，$lim{x to 0^+} f（x） = 0$，函数在$x=0$处连续。- 导数计算：

左导数：$lim{x to 0^-} frac{|x| - 0}{x} = lim{x to 0^-} frac{-x}{x} = -1$

右导数：$lim{x to 0^+} frac{|x| - 0}{x} = lim{x to 0^+} frac{x}{x} = 1$

由于左右导数不相等，函数在$x=0$处不可导。

例2：判断分段函数的可导性

函数 ：

$$f(x) = begin{cases}

x^2 & text{if } x < 0

x & text{if } x geq 0

end{cases}$$

解析 ：

连续性：$lim{x to 0^-} f（x） = 0$，$lim{x to 0^+} f（x） = 0$，$f（0）=0$，函数在$x=0$处连续。- 导数计算：

左导数：$lim{x to 0^-} frac{x^2 - 0}{x} = lim{x to 0^-} x = 0$

右导数：$lim_{x to 0^+} frac{x - 0}{x} = 1$

左右导数不相等，函数在$x=0$处不可导。

例3：利用极限定义判断可导性

函数 ：$f（x） = sqrt{x}$

解析 ：

导数计算：

$$f'(0) = lim{h to 0} frac{sqrt{h} - 0}{h} = lim{h to 0} frac{1}{h^{2/3}}$$

该极限不存在（趋于无穷），因此函数在$x=0$处不可导。

三、补充说明

连续性与可导性 ：可导必连续，但连续不一定可导（如绝对值函数在$x=0$处）。- 特殊函数 ：多项式、指数函数等基本初等函数在其定义域内处处可导。- 实际应用 ：对于复杂函数，可结合导数的运算法则或极限性质判断。

通过以上步骤和例题，可系统判断函数的可导性。