要证明积分函数（变上限积分）的连续性，可以从以下几个方面进行：

一、基本定理的直接应用

牛顿-莱布尼茨公式

若函数 $f（x）$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则其变上限积分 $F（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $F'（x） = f（x）$。由于可导必连续，因此积分函数在 $[a, b]$ 上连续。

勒贝格积分的绝对连续性

若函数 $f（x）$ 在可测集上勒贝格可积，则其积分函数绝对连续。即对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta > 0$，当测度小于 $delta$ 的集合变化时，积分值的改变小于 $epsilon$。

二、利用积分中值定理

第一积分中值定理 ：若 $f（x）$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $xi in [a, b]$ 使得

$$

int_{a}^{b} f(t) , dt = f(xi)(b - a)

$$

该定理可辅助证明积分函数在区间内的连续性。

三、分段函数的连续性处理

若 $f（x）$ 为分段函数，需检查分段点处的左右极限是否相等且等于函数值。若分段点为可去间断点，则积分函数仍可能连续，但不可导。

四、其他注意事项

可积性条件 ：函数需在闭区间上有界且仅有有限个第一类间断点（如跳跃间断点）。

数值方法验证 ：对于复杂函数，可通过数值积分方法（如梯形法、辛普森法）近似计算积分值，观察连续性。

总结

积分函数的连续性主要依赖于被积函数的连续性。通过牛顿-莱布尼茨公式、积分中值定理等理论，可以系统证明其连续性。对于特殊函数（如分段函数），需结合极限定义进行验证。