已知导数求原函数的过程称为 不定积分 ，是微分的逆运算。以下是具体方法和注意事项：

一、基本方法

积分公式法

直接利用基本积分公式，例如：

$$int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C quad (n neq -1)$$

常见函数积分公式包括：

$$int frac{1}{x} , dx = ln|x| + C, quad int cos x , dx = sin x + C$$

通过记忆公式可快速求解简单函数的原函数。

换元积分法

第一类换元法（凑微分法） ：通过凑微分将复杂积分转化为简单形式。例如：

$$int 2x cos x , dx = int sin x , d(x^2) = x^2 sin x - int x^2 cos x , dx$$

第二类换元法 ：通过变量代换消去被积函数中的复杂部分，如根式或高次幂。例如：

$$int sqrt{4 - x^2} , dx quad text{令} , x = 2sin t , (text{三角代换})$$

适用于含根号、分式等复杂结构的积分。

分部积分法

适用于两个函数乘积的积分，公式为：

$$int u , dv = uv - int v , du$$

例如：

$$int x sin x , dx = -x cos x + int cos x , dx = -x cos x + sin x + C$$

通过合理选择$u$和$dv$可简化积分。

二、注意事项

积分常数$C$

不定积分的结果需加上任意常数$C$，因为常数的导数为零。若给定初始条件（如$f（a） = b$），可通过代入确定$C$值。

特殊函数与数值方法

有些函数的原函数无法用初等函数表示（如误差函数、对数积分等），需借助数值计算或查表法。

线性性质

积分满足线性性质：

$$int [af(x) + bg(x)] , dx = aint f(x) , dx + bint g(x) , dx$$

适用于组合函数的积分。

三、示例

已知导数$f'（x） = 2x + sin x$，求原函数：

$$f(x) = int (2x + sin x) , dx = int 2x , dx + int sin x , dx = x^2 - cos x + C$$

若已知$f（0） = 1$，则$1 = 0 - 1 + C$，解得$C = 2$，原函数为：

$$f(x) = x^2 - cos x + 2$$

通过以上方法，可系统求解导数的原函数。