双重定积分的求导需要根据积分类型和变限情况选择合适的方法，主要分为以下几种情况：

一、积分限为常数的情况

若积分限是常数（如$int_{a}^{b} f（x,y） , dx$），则积分结果为常数，其导数为零：

$$

frac{d}{dx} left( int_{a}^{b} f(x,y) , dx right) = 0

$$

二、积分限为变量的情况

当积分限是变量时，需使用莱布尼茨积分法则（Leibniz Integral Rule）：

$$

frac{d}{dx} left( int{a(x)}^{b(x)} f(t,x) , dt right) = f(b(x),x) cdot b'(x) - f(a(x),x) cdot a'(x) + int{a(x)}^{b(x)} frac{partial f(t,x)}{partial x} , dt

$$

步骤解析：

对外层积分求导，应用莱布尼茨法则的第一部分；

若被积函数$f（t,x）$仅与$x$相关，则第二项为0；

若被积函数同时依赖$t$和$x$，则需加上对$x$的偏导数项。

示例：

求$frac{d}{dx} left（ int_{0}^{x^2} frac{sin t}{1+t^2} , dt right）$

$$

= frac{sin(x^2)}{1+x^4} cdot 2x + int_{0}^{x^2} 0 , dt = frac{2x sin(x^2)}{1+x^4}

$$

三、特殊方法补充

极坐标变换 ：适用于积分区域为圆形或扇形的情形，通过极坐标公式转换后求导；

高斯公式 ：将二重积分转化为曲面积分，再应用高斯定理求导；

分步求导 ：先对一个变量求导，再对另一个变量求导（适用于可分离变量的情形）。

四、注意事项

莱布尼茨法则仅适用于积分上限或下限为单变量函数的情况，且被积函数需满足一定条件；

实际应用中需结合具体问题选择方法，如洛必达法则、等价代换等。

以上方法需结合具体积分形式选择，建议通过考研数学教材或专业辅导资料进一步学习。