判断函数凹凸性和拐点的步骤如下：

一、凹凸性的判断方法

二阶导数法

若函数 $f（x）$ 在区间 $I$ 上二阶可导，则：

当 $f''（x） > 0$ 时，函数在 $I$ 上为凹函数；

当 $f''（x） < 0$ 时，函数在 $I$ 上为凸函数。

定义法

若函数 $y = f（x）$ 在点 $x_0$ 处连续，且存在 $delta > 0$，使得在 $（x_0 - delta, x_0）$ 和 $（x_0, x_0 + delta）$ 上函数的凹向性相反，则 $（x_0, f（x_0））$ 为拐点。

二、拐点的判定方法

二阶导数法

求出函数 $f（x）$ 的二阶导数 $f''（x）$，并找出使 $f''（x） = 0$ 或 $f''（x）$ 不存在的点 $x_0$；

判断 $x_0$ 左右两侧二阶导数的符号是否相反：

若左侧 $f''（x） > 0$ 且右侧 $f''（x） < 0$，或左侧 $f''（x） < 0$ 且右侧 $f''（x） > 0$，则 $（x_0, f（x_0））$ 为拐点。

一阶导数法

若 $f'（x）$ 在 $x_0$ 处由增变减或由减变增，则 $（x_0, f（x_0））$ 可能是拐点（需结合二阶导数进一步确认）。

三、补充说明

必要条件 ：若 $（x_0, f（x_0））$ 是拐点，则 $f''（x_0） = 0$ 或 $f''（x_0）$ 不存在；

充分条件 ：若 $f''（x）$ 在 $x_0$ 两侧异号，则 $（x_0, f（x_0））$ 为拐点；

特殊情况 ：对于高阶导数，可通过分析高阶导数的符号变化来判断凹凸性。

通过以上方法，可以系统地判断函数的凹凸性及其拐点位置。