一、极限与连续

极限计算

无穷小代换（如$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$）

洛必达法则（如$lim_{x to infty} frac{e^x}{x}$）

泰勒展开式（如$sin x = x - frac{x^3}{3!} + cdots$）

介值定理证明（如证明割线斜率有介值性）

连续性与间断点

判断函数在某点的连续性

间断点类型分类（可去、跳跃、无穷等）

二、导数与微分

导数计算

基本公式（如$（x^n）' = nx^{n-1}$）

隐函数求导（如$y^2 + x^2 = 1$）

参数方程求导（如$x = tcos t, y = tsin t$）

高阶导数计算（如$y'''$）

微分应用

切线方程与法平面（如曲线$y = x^2$在点$（1,1）$处）

曲线弧长与旋转体体积（如绕$x$轴旋转的体积）

三、积分学

定积分计算

不定积分（如$int e^x dx = e^x + C$）

定积分应用（如计算平面区域面积、旋转体体积）

积分中值定理（如罗尔定理、柯西中值定理）

级数与傅里叶级数

几何级数与幂级数收敛性（如$sum_{n=0}^{infty} x^n$）

傅里叶级数展开（如周期函数$y = x^2$在$[-pi, pi]$上）

四、微分方程

常微分方程

可分离变量方程（如$frac{dy}{dx} = xy$）

一阶线性微分方程（如$y' + P（x）y = Q（x）$）

高阶线性方程（如$y'' + py' + qy = 0$）

偏微分方程

拉格朗日乘数法（如求条件极值）