关于分块矩阵求秩的问题，综合搜索结果分析如下：

一、分块矩阵秩的基本性质

子矩阵秩的关系

若分块矩阵为 $（A mid B）$，则 $text{rank}（A mid B） = text{rank}（A）$。这是因为 $A$ 是 $（A mid B）$ 的子矩阵，且 $（A mid B）$ 可以通过初等行变换化为 $（A mid 0）$，不改变矩阵的秩。

特殊分块形式的秩

对于形如 $begin{pmatrix} A & 0 0 & B end{pmatrix}$ 的分块矩阵，其秩为 $text{rank}（A） + text{rank}（B）$。

若分块矩阵的行向量组线性无关，则整体矩阵的秩等于各分块秩之和；若存在线性相关，则整体秩小于各分块秩之和。

二、分块矩阵秩的证明方法

通过子矩阵秩证明

设 $A$ 为 $m times n$ 矩阵，$B$ 为 $n times s$ 矩阵，若 $AB$ 存在，则 $text{rank}（AB） leq min{text{rank}（A）, text{rank}（B）}$。类似地，可证明 $text{rank}（A+B） leq text{rank}（A） + text{rank}（B）$。

初等变换法

通过初等行变换将分块矩阵化为行最简形式，非零行的数量即为秩。例如，将 $（A mid B）$ 化为 $（R mid C）$，则 $text{rank}（A mid B） = text{rank}（R）$。

三、注意事项

分块矩阵的秩需结合具体分块方式分析，不同分块结构可能对应不同结论。

实际计算中，通常通过初等行变换或列变换简化矩阵，再结合子矩阵性质求解。

以上方法需结合具体问题灵活运用，建议结合具体分块形式选择合适方法。