高一数学下学期主要学习以下内容：

一、三角函数

任意角和弧度制

任意角的概念，包括正角、负角和零角的定义，象限角以及终边相同的角的表示方法。例如，与alpha = 30^{circ}终边相同的角可以表示为beta=kcdot360^{circ}+ 30^{circ},kin Z。

弧度制的引入，弧度与角度的换算关系（180^{circ}=pi弧度）。这使得在很多数学计算和研究函数性质时更加方便。

三角函数的定义

利用直角坐标系中角的终边上一点P(x,y)到原点的距离r = sqrt{x^{2}+y^{2}}，定义正弦函数sinalpha=frac{y}{r}、余弦函数cosalpha=frac{x}{r}、正切函数tanalpha=frac{y}{x}(xneq0)等。

同角三角函数的基本关系

平方关系sin^{2}alpha+cos^{2}alpha = 1，商数关系tanalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}(cosalphaneq0)。这些关系在化简三角函数式、证明三角恒等式等方面有广泛应用。

诱导公式

如sin(alpha + 2kpi)=sinalpha,kin Z，sin(-alpha)=-sinalpha，sin(pi-alpha)=sinalpha等，可用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算。

二、平面向量

向量的概念

既有大小又有方向的量叫做向量，向量的表示方法（有向线段表示、坐标表示）。例如，向量overrightarrow{AB}可以表示从点A指向点B的向量，在平面直角坐标系中，若A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)。

向量的运算

向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义和坐标运算。例如，向量加法的平行四边形法则和三角形法则；向量数乘lambdaoverrightarrow{a}=(lambda x,lambda y)（设overrightarrow{a}=(x,y)）。

向量的数量积

定义overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b}=vertoverrightarrow{a}vertvertoverrightarrow{b}vertcostheta（theta为overrightarrow{a}与overrightarrow{b}的夹角），以及数量积的坐标运算overrightarrow{a}cdotoverrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2（设overrightarrow{a}=(x_1,y_1)，overrightarrow{b}=(x_2,y_2)）。向量数量积可用于求向量的夹角、向量的模长等问题。

三、三角恒等变换

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

如sin(Apm B)=sin Acos Bpmcos Asin B，cos(Apm B)=cos Acos Bmpsin Asin B，tan(Apm B)=frac{tan Apmtan B}{1mptan Atan B}。

二倍角公式

sin2A = 2sin Acos A，cos2A=cos^{2}A-sin^{2}A = 2cos^{2}A - 1=1 - 2sin^{2}A，tan2A=frac{2tan A}{1-tan^{2}A}。这些公式在化简、求值、证明三角恒等式等方面经常用到。