非齐次线性方程组$Ax = b$的求解步骤如下：

一、判断解的存在性

系数矩阵与增广矩阵的秩

通过初等行变换将增广矩阵$（A|b）$化为行阶梯形矩阵，判断系数矩阵$A$的秩$R（A）$与增广矩阵的秩$R（A|b）$的关系：

若$R（A） neq R（A|b）$，则方程组无解；

若$R（A） = R（A|b）$，则方程组有解。

二、求解步骤

行阶梯形矩阵的化简

对增广矩阵$（A|b）$进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，确定自由未知量（未被主元覆盖的未知量）。

求齐次线性方程组的通解

对应的齐次线性方程组$Ax = 0$的通解由基础解系和自由未知量构成：

通过回代法或参数化方法求出基础解系${a_1, a2, dots, a{n-r}}$（其中$r = R（A）$）。

求非齐次线性方程组的一个特解

可令自由未知量取特定值（如全零或单位向量），代入行阶梯形方程组求出特解$xi$。

合成通解

非齐次线性方程组的通解为齐次解与特解之和：

$$

X = xi + k_1a_1 + k_2a2 + dots + k{n-r}a_{n-r}

$$

其中$k_1, k2, dots, k{n-r}$为任意常数。

三、示例说明

以方程组：

$$

begin{cases}

x_1 + x_2 + x_3 = 1

x_1 - x_2 + x_4 = 2

0x_1 + x_2 + x_3 = 0

end{cases}

$$

为例：

增广矩阵为$left[begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 & 0end{array}right]$，化为行阶梯形后得：

$$

left[begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 1 & 0 & 1 0 & -2 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 0 & 0end{array}right]

$$

确定自由未知量$x_3, x_4$，令$x_3=1, x_4=0$，解得特解$xi=（5, -3, 1, 0）^T$；令$x_3=0, x_4=1$，解得另一特解$eta=（-2, 1, 0, 1）^T$。

基础解系为${a_1=（-2, 1, 1, 0）^T, a_2=（-2, 1, 0, 1）^T}$，通解为：

$$

X = (5, -3, 0, 0)^T + k_1(-2, 1, 1, 0)^T + k_2(-2, 1, 0, 1)^T

$$