商的极限运算法则是极限运算中的重要规则，用于计算两个函数商的极限。其核心内容如下：

定理

设函数 $f（x）$ 和 $g（x）$ 在点 $x = a$ 的某个邻域内有定义，且满足：

$lim_{{x to a}} f（x） = L$

$lim_{{x to a}} g（x） = M neq 0$

则 $lim_{{x to a}} frac{f（x）}{g（x）} = frac{L}{M}$

补充说明

前提条件 ：分子和分母的极限都必须存在，且分母的极限不为零。2. 特殊情况 ：若分母极限为零，则分子极限也必须为零，否则商的极限不存在。3. 计算方法 ：在满足条件的情况下，可以先分别求出分子和分母的极限，再相除。

注意事项

该法则仅适用于“普通极限”（即非无穷小/无穷大形式），需先通过等价无穷小替换、洛必达法则等方法将问题转化为可计算形式。- 若直接代入计算出现 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 形式，需先化简函数或使用其他方法。

示例

计算 $lim_{{x to 0}} frac{sin x}{x}$：

已知 $lim{{x to 0}} sin x = 0$ 且 $lim{{x to 0}} x = 0$，属于 $frac{0}{0}$ 形式。- 通过洛必达法则，$lim{{x to 0}} frac{sin x}{x} = lim{{x to 0}} frac{cos x}{1} = 1$ 。