关于考研数学中与“不定积分”相关的典型题目，综合历年考研真题及复习资料，整理如下：

一、基本积分公式应用类

分式分解与积分

计算 $int frac{x^2+2x+1}{x+1} , dx$

解法：先进行分式分解 $frac{x^2+2x+1}{x+1} = x+1 + frac{1}{x+1}$，再分别积分得到 $frac{1}{2}x^2 + 2x + ln|x+1| + C$ 。

三角函数积分

$int sin x cdot e^x , dx$（数二）

解法：使用分部积分法，设 $u = sin x$，$dv = e^x , dx$，通过两次分部积分可得 $e^x sin x - e^x cos x + C$ 。

$int ln x , dx$（数一）

解法：分部积分法，设 $u = ln x$，$dv = dx$，结果为 $x ln x - x + C$ 。

二、特殊函数与复合函数积分

反三角函数积分

计算 $int arcsin x ln x , dx$（数一）

解法：分部积分法，设 $u = ln x$，$dv = arcsin x , dx$，结合分部积分公式计算。

指数函数与三角函数乘积

计算 $int x sin 2x , dx$（数五）

解法：分部积分法，设 $u = x$，$dv = sin 2x , dx$，结果为 $-frac{1}{2}x cos 2x + frac{1}{2} sin 2x + C$ 。

三、高阶导数与原函数关系

已知原函数求导

设 $F（x）$ 是 $f（x）$ 的原函数，且 $F（0） = 1$，求 $f（x）$（数一）

解法：根据原函数与导函数的关系，通过 $F'（x） = f（x）$ 和初始条件确定 $f（x）$ 。

含参数的导数问题

设 $f（x）$ 满足 $f''（x） + p（x）f'（x） + q（x）f（x） = 0$，已知 $f（0）$ 和 $f'（0）$，求 $f（x）$（数四）

解法：利用常系数线性微分方程的解法，结合初始条件确定通解形式。

四、综合应用类

分部积分法综合应用

计算 $int x e^x ln x , dx$（数五）

解法：分部积分法两次应用，设 $u = ln x$，$dv = x e^x , dx$，最终结果包含 $e^x ln x$ 项。

换元积分法

计算 $int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx$（数一）

解法：三角换元法，设 $x = sin t$，结果为 $arcsin x + C$ 。

五、典型错误与注意事项

分部积分公式错误 ：$d（uv） = u , dv + v , du$，而非 $d（uv） = u , dv - v , du$。