数列没有左右极限的原因主要与数列的单调性和极限的定义有关。以下是详细解释：

一、数列的单调性

数列 ${a_n}$ 是按一定顺序排列的项，其本质是定义在正整数集 $mathbb{N}$ 上的函数 $a_n = f（n）$。由于正整数集是严格递增的，数列具有单调性：

单调递增 ：若 $a_{n+1} geq a_n$ 对所有 $n$ 成立；

单调递减 ：若 $a_{n+1} leq a_n$ 对所有 $n$ 成立。

二、极限的局部有界性

极限存在的核心条件是局部有界性。对于函数在某点存在极限，要求在该点的某个去心邻域内有界。然而：

数列的项是离散的 ：数列的项仅在正整数点有定义，不存在介于两项之间的其他点，因此无法形成局部邻域；

单调数列的极限唯一性 ：若数列单调递增且有上界，则极限存在且唯一；若单调递减且有下界，极限同样存在且唯一。

三、左右极限的矛盾性

左右极限的定义要求：

左极限 $lim_{x to c^-} f（x）$：$x$ 从左侧趋近 $c$ 时的极限；

右极限 $lim_{x to c^+} f（x）$：$x$ 从右侧趋近 $c$ 时的极限。

对于数列而言：

不存在“左侧”或“右侧” ：由于数列的项是离散的，无法从左侧或右侧趋近某一项；

多极限点的复杂性 ：即使数列不单调，也可能存在多个极限点（如振荡数列），此时左右极限的概念无法适用。

四、上极限和下极限的补充

对于非单调数列，可以通过上极限（$limsup$）和下极限（$liminf$）来描述其极限行为：

上极限 ：数列所有子列的上确界的最小值；

下极限 ：数列所有子列的下确界的最小值。

例如，数列 $1, -1, 1, -1, dots$ 的上极限为 $1$，下极限为 $-1$，但该数列本身没有传统意义上的极限。

总结

数列没有左右极限的根本原因在于其项的离散性和单调性。若需描述更复杂的极限行为，可借助上极限和下极限等扩展概念。