根据搜索结果，大连市舞蹈培训机构的监管部门需根据具体情况进行区分：

一般性舞蹈培训

属于艺术体育类，通常由 文化和旅游部门 （原文体部门）负责管理，具体包括行证许可、业务活动监管等。

特殊类型舞蹈培训

若涉及 地方性非物质文化遗产 （如舞踏等），则由 文化局 负责管理。

其他相关监管部门

教育局 ：主要负责中小学学科类和外语培训机构的管理，但一般不直接管理普通舞蹈培训机构。

市场监督管理局 ：负责校外培训机构的注册、消费者权益保护及投诉处理。

体育局 ：理论上对运动类培训（如体育舞蹈）有管理职责，但实际中多由文化和旅游部门统筹。

建议 ：普通舞蹈培训机构建议向文化和旅游部门申请相关资质，并接受其日常监管；若涉及非遗项目，需向文化局咨询具体要求。