舞蹈培训涉及多个监管部门，具体包括：

文化局 ：负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训，确保培训内容符合当地文化政策和法规。

教育局 ：虽然一般舞蹈培训不属于其管辖，但对于中小学学科类培训机构和各类外语培训机构有管理职责，同时牵头组织校外培训市场综合执法。此外，教育局还负责舞蹈培训机构的资质审查、教学内容、师资力量等，确保培训质量符合国家标准，保障学员权益。

市场监督管理局 ：负责校外培训机构的注册、审批和监督，确保其合法经营和教学质量，处理消费者权益受损的投诉。

文体部门 ：舞蹈严格来说属于艺术体育类，应由文体部门管辖。艺术类教培机构不归教育局管，由文化和旅游部门负责文化艺术培训机构的管理。

民政局或非赢利性民间教育组织 ：舞蹈教练培训可能不属于娱乐业，而是作为非赢利性民间教育组织由民政局下属管理。

体育局 ：虽然未直接提及，但运动类培训一般归体育局管理，舞蹈作为运动类的一种，理论上应由体育局监管。

综上所述，舞蹈培训的管理部门主要取决于培训机构的性质和所在地。普通舞蹈培训机构一般由教育局管理，艺术类舞蹈培训机构由文化和旅游部门管理，特殊的地方性非物质文化遗产舞蹈培训由文化局管理，而舞蹈培训机构的注册、审批和监督则由市场监督管理局负责。