舞蹈培训机构通常由多个部门进行监管，具体包括：

文化局：

负责文化艺术培训机构的管理，包括舞蹈培训，特别是涉及地方性非物质文化遗产的舞踏培训。

教育局：

负责中小学学科类培训机构和各类外语培训机构的管理，同时负责舞蹈培训机构的资质审查、教学内容、师资力量等，确保培训质量符合国家标准，保障学员权益。

市场监督管理局：

负责消费者权益受损时的投诉处理，以及舞蹈培训机构的业务活动管理。

工商局：

舞蹈培训一般可以注册为某某舞蹈培训有限公司、某某舞蹈培训工作室等，这样的话就只归工商部门管了。

体育局：

虽然未直接提及，但运动类培训一般归体育局管理，舞蹈作为运动类的一种，理论上应由体育局监管。

综上所述，舞蹈培训机构的监管涉及文化局、教育局、市场监督管理局、工商局和体育局等多个机构，具体职责可能因地区和具体情况有所不同。如果消费者的权益受到损害，通常可以向当地的市场监督管理局进行投诉。