常用的等价无穷小在微积分和数学分析中应用广泛，以下是主要分类及常见公式（以 $x to 0$ 为例）：

一、基本等价无穷小

三角函数类

$sin x sim x$

$tan x sim x$

$arcsin x sim x$

$arctan x sim x$

指数函数类

$e^x - 1 sim x$

$a^x - 1 sim x ln a quad （a > 0, a neq 1）$

对数函数类

$ln（1 + x） sim x$

$ln（1 - x） sim -x$

幂函数类

$（1 + x）^a sim 1 + ax quad （a neq 0）$

二、高阶等价无穷小（泰勒展开）

三角函数类

$sin x = x - frac{1}{6}x^3 + o（x^3）$

$cos x = 1 - frac{1}{2}x^2 + frac{1}{24}x^4 + o（x^4）$

$tan x = x + frac{1}{3}x^3 + o（x^3）$

其他函数类

$1 - cos x sim frac{1}{2}x^2$

$x - ln（1 + x） sim frac{1}{2}x^2$

$x - sin x sim frac{1}{6}x^3$

三、补充说明

适用范围 ：上述等价关系仅在 $x to 0$ 时成立。若自变量趋于其他值（如 $x to infty$），需使用其他方法（如洛必达法则）。

注意事项 ：等价无穷小替换需谨慎使用，避免在非等价区间引发错误。例如，当 $x to infty$ 时，$sin x$ 和 $x$ 不是等价无穷小。

以上公式为常见数学分析场景中的核心等价无穷小，掌握这些关系可简化极限计算和微分运算。