关于原函数连续性的推导，主要基于以下数学原理和推论：

一、可导与连续的关系

可导必连续

若函数 $f（x）$ 在某点可导，则该点必连续。这是因为导数的定义要求左右导数存在且相等，而连续性是导数存在的必要条件。

连续不一定可导

函数可能在某点连续但不可导。例如绝对值函数 $f（x） = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导。

二、原函数连续性的推导

原函数的定义

原函数 $F（x）$ 可以表示为 $F（x） = int_{a}^{x} f（t） , dt$，其中 $f（t）$ 是被积函数。

积分与连续性的关系

根据微积分基本定理，若 $f（x）$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则其不定积分 $int f（x） , dx$ 存在且连续。这意味着原函数 $F（x）$ 在该区间内没有间断点。

闭区间上的推广

若 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $F（x）$ 不仅连续，而且在该区间上有界。

三、总结关系图

四、补充说明

导函数与原函数的关系 ：若导函数 $f'（x）$ 连续，则原函数 $f（x）$ 不仅连续，而且光滑（即曲线无突变）。

反例说明 ：函数 $f（x） = x^2 sin（1/x）$（当 $x neq 0$），$f（0） = 0$，其导函数在 $x = 0$ 处连续，但原函数在 $x = 0$ 处不可导。

综上，原函数连续性主要由被积函数的连续性保证，而导函数连续性则是更高阶的性质。