曲率公式根据曲线的表示形式不同，主要分为以下两种情况：

一、平面曲线（参数方程形式）

若曲线由参数方程 $mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t））$ 给出，则曲率 $k$ 的计算公式为：

$$

k = frac{x'y'' - x''y'}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}

$$

其中：

$x' = frac{dx}{dt}$，$y' = frac{dy}{dt}$（一阶导数）

$x'' = frac{d^2x}{dt^2}$，$y'' = frac{d^2y}{dt^2}$（二阶导数）

二、平面曲线（直角坐标形式）

若曲线由直角坐标方程 $y = f（x）$ 给出，则曲率 $k$ 的计算公式为：

$$

k = frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}

$$

其中：

$y' = frac{dy}{dx}$，$y'' = frac{d^2y}{dx^2}$（一阶导数和二阶导数）

补充说明

曲率半径 $R$ 是曲率的倒数，即：

$$

R = frac{1}{k}

$$

几何意义 ：曲率表示曲线在某点处切线方向对弧长的转动率，曲率越大，曲线弯曲程度越大。

应用场景 ：曲率在工程学、物理学（如天体运动）和计算机图形学等领域有广泛应用。

以上公式适用于二维平面曲线，对于三维空间曲线 $mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t）, z（t））$，其曲率公式为：

$$

k = frac{|mathbf{r}' times mathbf{r}''|}{|mathbf{r}'|^3}

$$

其中 $mathbf{r}'$ 和 $mathbf{r}''$ 分别为速度向量和加速度向量。