监理工程师不可以行使以下行为：

利用职务之便以权谋私、索贿：

监理工程师不得利用职务便利为自己或他人谋取不正当利益，包括向承包人索贿等。

放松合同要求或降低工程质量标准：

监理工程师不应因承包人的特殊照顾而放松对合同的要求或降低工程质量标准，确保工程按照合同和规范要求进行。

刁难承包人、主动索取礼物：

监理工程师不得因个人不合理要求未得到满足而刁难承包人，也不得主动向他人索取礼物或利益。

违反法律和法规：

监理工程师有责任确保工程符合法律和法规要求，包括遵守安全条例和消防条例等，不能违反任何法律条款。

滥用权利：

监理工程师拥有权利，但不得滥用这些权利，如过度决策或发出不合理指令，影响工程品质。

与建设单位勾结：

监理工程师作为第三方，应保持独立性和公正性，不能与建设单位合谋欺骗或不负责任地授权施工。

参与承包人的经济活动：

监理工程师不应参与承包人的任何经济活动，如以“服务”为名收取劳务费或服务费。

违反财经纪律：

监理工程师不得虚报冒领、重报多领、假公济私或损公肥私，遵守财经纪律。

以各种名义变相截留公款：

监理工程师不得截留或变相截留公款，不得领取巧立名目的费用。

参与与监理工作冲突的工作：

监理工程师不应参与与监理工作有冲突的工作，如工程的设计、施工、质量检测等。

这些行为都是违反监理工程师职业道德和专业规范的行为，一旦发现，可能会受到相应的法律和行业纪律处分。